Markovの不等式

ステートメント

$X$を非負の確率変数とする，任意の$t> 0$に対して

$$ \mathbb{P} (X \geq t) \leq \frac{\mathbb{E}\left[X\right]}{t} $$ が成り立つ．

証明の概要

任意の$t\geq 0$に対して，

$$ X \geq t\mathbb{1}_{\{X\geq t\}} $$ が成り立つので，期待値を取って，

$$ \mathbb{E}\left[X\right] \geq \mathbb{E}\left[t\mathbb{1}_{\{X\geq t\}} \right] = t \mathbb{P} (X\geq t). $$

両辺を$t$で割れば不等式が得られる．

コメント

• 集中不等式と呼ばれる類の一連の不等式の出発点となる．
• Markovの不等式からChebyshevの不等式やExponential版のChebyshevの不等式が示せる．
• 文献によっては，Chebyshevの不等式のことをMarkovの不等式と呼ぶこともある．

出典

Boucheron et al. Concentration inequalities: A Nonasymptotic Theory of Independence (2013)