Brunn--Minkowskiの不等式¶

ステートメント¶

$\mu$ を $\mathbb{R}^n$ のLebesgue測度とする．$A, B \subseteq \mathbb{R}^n$ を空でないコンパクト集合とし，$\lambda \in [0, 1]$ とする．このとき $$ \mu( (1 - \lambda) A + \lambda B)^{1/n} \geq (1 - \lambda) \mu(A)^{1/n} + \lambda \mu(B)^{1/n} $$ が成り立つ．ただし，集合 $A, B \subseteq \mathbb{R}^n$ に対して，$A + B$ はMinkowski和を表し，$\lambda A = \{ \lambda x: x \in A \}$ とする．

コメント¶

凸幾何における基本的な不等式のひとつ．(TODO: 応用例)

証明の概要¶

$\lambda = 1/2$，$n = 1$ とした不等式 $\mu(A + B) \geq \mu(A) + \mu(B)$ は容易に示すことができる．多次元の場合は，Prekopa--Leindlerの不等式を経由する方法が知られている (Boucheron, Lugosi and Massart (2013)).

出典¶

Boucheron et al. Concentration inequalities: A Nonasymptotic Theory of Independence (2013)