Hypercontractive不等式¶
ステートメント¶
関数$f\colon{-1,1}^n \to \mathbb{R}$と実数$\rho \in [-1,1]$に対し， $$ T_\rho f(x)=\mathbb{E}{y∼N\rho(x)}[f(y)] $$ と定義する． ここで$y∼N_\rho(x)$とは，各$i \in {1,\ldots,n}$について独立に $$ y_i = \begin{cases} x_i & \text{確率 } \frac{1+\rho}{2}\ -x_i & \text{確率 } \frac{1-\rho}{2} \ \end{cases} $$ と選ぶことを指す．
このとき関数$f: {-1,1}^n \to \mathbb{R}$と，$0 \leq \rho \leq \sqrt{\frac{p-1}{q-1}}$なる実数$1 \leq p \leq q \leq \infty$に対して， $$ |T_\rho f|_q \leq |f|_p $$ が成り立つ．
出典¶
- R. O'Donnell. Analysis of Boolean Functions (2014).