Slepianの不等式

ステートメント

$X = (X_1, \ldots, X_n)$ と $Y = (Y_1, \ldots, Y_n)$ はそれぞれ平均 $0$ の正規分布を同時分布としてもつ確率変数列とする．$i, j \in { 1, \ldots, n }$ について $$ \mathbb{E}[X_i^2] = \mathbb{E}[Y_i^2] $$ および $$ \mathbb{E}[X_i X_j] \leq \mathbb{E}[Y_i Y_j] $$ が成り立つとする．

このとき， $$ \mathbb{E} \max_{1 \leq i \leq n} Y_i \leq \mathbb{E} \max_{1 \leq i \leq n} X_i $$ が成り立つ．

コメント

平均 $0$ のガウス過程 $X_i$ ($i = 1, \ldots, n$) について，分散 $\mathbb{E}X_i^2$ の値が各時刻で同じなら，異なる時刻間の相関が小さいほど最大値の期待値は大きい．

ガウス過程の最大値の期待値どうしを比較したり，下から抑えたいときに役立つ．Sudakov minorationも参照．

出典

• Dudley. Uniform Central Limit Theorems. 2nd edition (2014).
• Boucheron, Lugosi and Massart. Concentration inequalities: A Nonasymptotic Theory of Independence (2013).