Precopa--Leindlerの不等式

ステートメント

$\lambda \in (0, 1)$ とする.$f, g, h: \mathbb{R}^n \to [0, \infty)$ は可測関数で,任意の $x, y \in \mathbb{R}^n$ に対して $$ h((1 - \lambda) x + \lambda y) \geq f(x)^{1 - \lambda} g(y)^{\lambda} $$ を満たすものとする.このとき, $$ \int_{\mathbb{R}^n} h(x) d x \geq \left( \int_{\mathbb{R}^n} f(x) d x \right)^{1 - \lambda} \left( \int_{\mathbb{R}^n} g(x) d x \right)^{\lambda} $$ が成り立つ.

コメント

$\mathbb{R}^n$ 上の絶対連続な確率測度で,密度関数 $\phi$ の対数が凹関数であるもの,すなわち $$ \phi((1 - \lambda)x + \lambda y) \geq \phi(x)^{1 - \lambda}\phi(y)^{\lambda} $$ を満たすものを対数凹分布という.Prekopa--Leindlerの不等式から,対数凹分布のいろいろな性質が示せる.

まず,対数凹性は周辺化によって保存する.$\mathbb{R}^{n_1 \times n_2}$ 上の対数凹分布で,密度関数 $\phi(x, y)$ をもつものを考える.$y$ について周辺化した $\mathbb{R}^{n_1}$ 上の確率密度を $$ \phi_{x}(x) = \int_{\mathbb{R}^{n_2}} \phi(x, y) d y $$ とする.ここで,$x_1, x_2 \in \mathbb{R}^{n_1}$ を固定し,$h(y) = \phi((1 - \eta)x_1 + \eta x_2)$, $f(y) = \phi(x_1, y)$, $g(y) = \phi(x_2, y)$ に対してPrekopa--Leindlerの不等式を適用すると, $$ \phi_x((1 - \eta)x_1 + \eta x_2) \geq \phi_x(x_1)^{1 - \eta} \phi_x(x_2)^\eta $$ が成り立つ.

また,$\mu$ が密度 $\phi$ をもつ対数凹分布であるとき, $$ \mu((1 - \lambda) A + \lambda B) \geq \mu(A)^{1 - \lambda} \mu(B)^{\lambda} $$ が成り立つ.これを確認するには,$h(x) = \phi(x) 1_{(1 - \lambda) A + \lambda B}(x)$, $f(x) = \phi(x) 1_{A}$, $g(x) = \phi(x) 1_{B}$ にPrekopa--Leindlerの不等式を適用すればよい.特に,$\mu$ が $\mathbb{R}^n$ の一様測度のときにも成立し,ここから多次元のBrunn--Minkowskiの不等式が示せる (Boucheron, Lugosi and Massart (2013), Section 4.14).また,低次元の線形部分空間に縮退したGauss測度でも同様のことが示せる (Gine and Nickl (2015), Theorem 2.4.3).

出典

  • Boucheron, Lugosi and Massart. Concentration inequalities: A Nonasymptotic Theory of Independence (2013).
  • Gine and Nickl. Mathematical Foundations of Infinite-Dimensional Statistical Models (2015).